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高次元方陣(四次元以上)の作品集

以下に私が作成した四次元以上の方陣の作品を示す(CSV 形式).全て正規な方陣である.
用語の定義についてはこちらを参照.立体方陣(三次元の方陣)の作品についてはこちらを参照.

4次元

5次元

6次元

7次元


高次元方陣に関する付記

1.対称なn次元汎斜方陣
(1) 次数 m = 4
 私は 2004 年8月に,4次の対称な n 次元汎斜方陣が,全ての奇数次元 n ≧ 3 に対して存在することを証明した.
5次元7次元の例は上に示した.3次元の例はこちらを参照.)
 一方,偶数次元においては,全ての4次の n次元汎斜方陣は完備(定和対蹠点型)である.従って,偶数次元においては,4 次の(正規な)n 次元汎斜方陣は対称になり得ない.特に,4次の対称な平面汎斜方陣や四次元汎斜方陣は存在しない.

(2) 次数 m = 4x, m ≧ 8
 私は 2004 年8月に,m 次の対称な n 次元汎斜方陣が,全ての次元 n ≧ 2 と 全ての8以上の4の倍数次 m ≧ 8 に対して存在することを証明した.
(8次の場合について,4次元5次元6次元の例は上に示した.3次元の例はこちらを参照.)
 なお,次元 n が偶数ならば,m 次の対称かつ面相結な n 次元汎斜方陣が,全ての8以上の4の倍数次 m ≧ 8 に対して存在する.
(8次の場合について,4次元6次元の例は上に示した.奇数次元の方陣は,同時に対称かつ面相結になることはない.)

(3) 次数 m = 4x+2, m ≧ 6
 私は 2008 年5月に,m 次の対称な n 次元汎斜方陣が,全ての奇数次元 n ≧ 3 と 全ての半偶数次 m ≧ 6 に対して存在することを証明した.
(6次の場合について,5次元7次元の例は上に示した.3次元の例はこちらを参照.)
 一方,偶数次元においては,半偶数次の対称方陣・汎斜方陣いずれも存在しない.

2.n次元全斜方陣
 (1) 私は 2004 年12月に,次の場合に m 次の全斜 n 次元方陣が存在することを証明した:
2e > n+1 なる最小の整数 e に対して,次数 m が 2e の倍数である場合.
 例えば,8次の全斜方陣は,6次元以下のときには常に存在する.また,16 次の全斜方陣は,14 次元以下のときには常に存在する.
(8次の場合について,4次元5次元6次元の例は上に示した.3次元の例はこちらを参照.)
 なお,私は 2008 年5月に,7次元の8次全斜方陣が存在しないことを証明した.

 (2) 私は 2013 年1月に,4次元の全斜方陣が、8以上の全ての偶数次、および、15以上の全ての奇数次に対して存在することを証明した.8次10次12次14次15次18次の例は上に示した.(16次・17次に対しては、より強い条件である全汎斜方陣が存在する.)なお、4次元の6次・7次・9次・11次・13次の全斜方陣が存在するか否かは未解決である(3次・4次・5次では存在しない).

3.4次のn次元2-斜方陣
 私は 2008 年5月に,4次の n 次元2-斜(面斜)方陣の存在に関して次の定理を証明した:
もし n ≡ 3 (mod. 4) ならば,4次の n 次元2-斜方陣は存在しない.それ以外の次元 n ≧ 2 に対しては存在する.
 例えば,2・4・5・6・8次元では4次2-斜方陣が存在し,3・7・11次元では存在しない.(4次元5次元6次元の例は上に示した.3次元で存在しないことはよく知られている.)
 一方,4次の n 次元3-斜(体斜)方陣は,全ての次元 n ≧ 3 に対して存在する.

4.n次元桂馬跳び方陣
 私は 2009 年5月に,m 次の n 次元桂馬跳び方陣が,全ての奇数次元 n ≧ 3 と 全ての4の倍数次 m ≧ 4 に対して存在することを証明した.
(5次元4次5次元8次7次元4次の例は上に示した.3次元4次の例こちらを参照.)
 一方,偶数次元 n ≧ 4 に対しては,n 次元桂馬跳び方陣の存在は未だ知られていない.Awani Kumar 氏は,2008年9月に4次元4次の桂馬跳び準方陣(4次元対角線不成立)を作成した.彼は,2次元12次・3次元8次・3次元12次・3次元16次の桂馬跳び方陣,5次元4次の桂馬跳び準方陣(5次元対角線不成立),3次元および4次元立方体表面上の2次元8次桂馬跳び準方陣(2次元対角線不成立),など多数の桂馬跳び(準)方陣を作成している.

 桂馬跳び方陣に関しては,以下のサイトを参照されたい.


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本ページの最終更新日:2016年8月8日
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」   http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
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