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各次数の四次元方陣

 本ページでは,四次元方陣の実例を次数別(3次〜4次)に紹介する.本ページの四次元方陣は全て正規である.
用語の定義についてはこちらを参照.立体方陣の実例についてはこちらを参照.

3次四次元方陣(定和123)

 3次四次元方陣は58個存在する.いずれの方陣も対称単純方陣である.

3次単純四次元方陣(対称) [John R. Hendricks]
面 (1,1)
652434
223566
366423
面 (1,2)
317121
721932
203370
面 (1,3)
272868
296925
672630

面 (2,1)
64374
44754
73545
面 (2,2)
80340
14181
42792
面 (2,3)
37779
78738
83976

面 (3,1)
525615
571353
145455
面 (3,2)
124962
506310
611151
面 (3,3)
591846
164760
485817
出典:Harvey D. Heinz & John R. Hendricks, "Magic Square Lexicon: Illustrated", self-published, 2000, ISBN 0-9687985-0-0, pp.91-92

4次四次元方陣(定和514)

4次単純四次元方陣(非対称) [浦田繁松(うらた しげまつ, 1889-1958), 1955]
面 (1,1)
125566192
254418967
13112519662
12813063193
面 (1,2)
2481018373
1124576182
11814053203
13711920256
面 (1,3)
2523190168
2302816591
15510122038
10415439217
面 (1,4)
2401817581
1923784174
11014845211
14511121048

面 (2,1)
20850143113
51205116142
7818013243
1777924216
面 (2,2)
57199122136
19860133123
187692526
721867249
面 (2,3)
21642151105
43213108150
8617221235
1698723424
面 (2,4)
3322398160
2223615799
1639322830
9616231225

面 (3,1)
61195126132
19464129127
191652562
681903253
面 (3,2)
20454139117
55201120138
741849247
1817524612
面 (3,3)
37219102156
21840153103
1678923226
9216627229
面 (3,4)
21246147109
47209112146
8217617239
1738323820

面 (4,1)
2441417977
1524180178
11414449207
14111520652
面 (4,2)
525170188
250818571
13512120058
12413459197
面 (4,3)
2362217185
2323388170
10615241215
14910721444
面 (4,4)
2922794164
2263216195
1599722434
10015835221
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.176

4次単純四次元方陣(非対称・4-相結・水平面汎斜) [中村, 2007/09]
面 (1,1)
1222103188
12017118205
1546925635
2395213786
面 (1,2)
17511620122
218519299
5623582141
6515839252
面 (1,3)
2484314677
1299423160
1111809214
26197128163
面 (1,4)
9013364227
4724473150
19330167124
18410721013

面 (2,1)
17011720819
2234185102
4923887140
7215534253
面 (2,2)
821998189
11317423204
1596824938
2345314483
面 (2,3)
9513257230
4224580147
20027162125
17711021512
面 (2,4)
2414615176
1369122661
10618116211
31196121166

面 (3,1)
2553615370
1388524051
1041872221
17206119172
面 (3,2)
8114255236
4025166157
20221176115
1911002176
面 (3,3)
10213112179
12716425198
1457824744
2325913093
面 (3,4)
16812319429
20914183108
6322889134
7414948243

面 (4,1)
8813950237
3325471156
20720169118
1861012243
面 (4,2)
2503716067
1438423354
971907220
24203114173
面 (4,3)
16112619928
21611178109
5822996131
7914841246
面 (4,4)
15212105182
12216532195
1527524245
2256213592
出典:自作.
本四次元方陣は単純方陣であるが,4-相結であり,16個の水平面は全て汎斜平面方陣である.

4次面斜四次元方陣(対称) [中村, 2004/12]
面 (1,1)
194175244
2141887339
23513312026
6499146205
面 (1,2)
8825110165
1913321278
13032237115
10519855156
面 (1,3)
172724689
6722148178
12622817143
14958203104
面 (1,4)
2531628316
4272181219
23121140230
19615911049

面 (2,1)
11823625135
176324293
14562207100
7521340186
面 (2,2)
23912911630
986167252
56107154197
2101927735
面 (2,3)
19125144226
245170918
20415110257
4668177223
面 (2,4)
13824229123
8425514161
10919451160
1834122070

面 (3,1)
1873721674
9720663148
962432173
13428233119
面 (3,2)
3480189211
20015510653
2491668712
31113132238
面 (3,3)
2221806547
60103150201
590171248
22714112818
面 (3,4)
7121744182
15750195112
1641525481
12223221139

面 (4,1)
2081479861
27117136234
3876185215
241174954
面 (4,2)
15354199108
11424029131
7920936190
1681125085
面 (4,3)
10120259152
14220225127
1794522466
922476169
面 (4,4)
52111158193
23113712422
2181846943
1382163256
出典:自作.こちらにCSV形式のファイルがある.

4次体汎斜四次元方陣(対称) [中村, 2007/09]
面 (1,1)
148243222
3249238195
242223445
2391942952
面 (1,2)
14416112683
1451929978
12782141164
9879148189
面 (1,3)
2492161138
2322012259
1039252213
2358229204
面 (1,4)
12089134171
10572155182
13517011792
15418310869

面 (2,1)
8097190147
81128163142
19114677100
16214384125
面 (2,2)
1932405130
224241463
5031196237
472221244
面 (2,3)
18415370107
16913691118
71106181156
90119172133
面 (2,4)
5724203230
409214251
2022316021
2152503712

面 (3,1)
245220742
2361972655
643248217
2754233200
面 (3,2)
12485138167
10176151186
13916612188
15018710473
面 (3,3)
1336255210
2061226207
2542111633
2272061764
面 (3,4)
13217311495
15718011166
11594129176
11067160177

面 (4,1)
18814974103
16514087122
75102185152
86123168137
面 (4,2)
5328199234
445218247
1982355625
219246418
面 (4,3)
68109178159
93116175130
17915865112
17413196113
面 (4,4)
2052286318
2122533415
6219208225
3514209256
出典:自作.こちらにCSV形式のファイルがある.

4次汎斜四次元方陣(完備・非対称・4-相結) [John R. Hendricks]
面 (1,1)
23911630129
15319910854
3418921180
8810165251
面 (1,2)
56154197107
7936190209
2498712166
13023711532
面 (1,3)
2107735192
1682508511
31132238113
10555156198
面 (1,4)
916725286
11429131240
20010653155
1912127833

面 (2,1)
13822912324
52158193111
7144182217
2538316162
面 (2,2)
10951160194
2186943184
1642548115
23140230121
面 (2,3)
1832207041
1316325682
12221139232
19611049159
面 (2,4)
8414161255
23112422137
15719511250
4218121972

面 (3,1)
19144226125
10159152202
2226547180
172246897
面 (3,2)
20410257151
1792246645
517124890
12617143228
面 (3,3)
4617722368
926169247
22712818141
14920310458
面 (3,4)
245918170
14222512720
60150201103
6748178221

面 (4,1)
11825135236
2089861147
1872167437
117524494
面 (4,2)
14520710062
3818521576
962173243
23512026133
面 (4,3)
7540186213
241954174
13423311928
6414620599
面 (4,4)
176242933
27136234117
9763148206
2147339188
出典:Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://www.magic-squares.net/)

全ての4次の四次元汎斜方陣は完備かつ4-相結である(このことは8次以上では成り立たない).従って4次の正規対称四次元汎斜方陣は存在しない.
(一方,4次の正規対称体汎斜立体方陣は存在する.)

4次汎斜四次元方陣(完備・非対称・4-相結・水平面斜・数独型) [中村, 2007/09]
面 (1,1)
116825095
12322213237
16057103194
2306729188
面 (1,2)
21912636133
161890255
7022718928
6415319998
面 (1,3)
11220115150
2217923776
2418810175
13946116213
面 (1,4)
1821977236
20810555146
43142212117
8124817015

面 (2,1)
1741185244
21611347138
51150204109
7324017823
面 (2,2)
12020914342
1417124584
2338018183
14754108205
面 (2,3)
19510260157
1853266231
942511654
40129223122
面 (2,4)
2519222671
9919815661
13633127218
254915164

面 (3,1)
2478216169
14144118211
10620714556
2018123578
面 (3,2)
45140214115
872421769
1802175238
20211149152
面 (3,3)
1546397200
2286927190
716225689
12522013435
面 (3,4)
6822918730
58159193104
22112438131
167296249

面 (4,1)
922531636
34135217128
19710062155
1912672225
面 (4,2)
13039121224
252933166
3118623265
10119615859
面 (4,3)
53148206107
7923418417
1721383246
21011941144
面 (4,4)
2397424177
14952110203
11421513748
1217324386
出典:自作.
この4次の四次元方陣は汎斜(従って完備4-相結)であり,16個の水平面は全て平面方陣である.
本方陣を16進数によって分解すると,下記の2つの四次元方陣が得られる.これらの各々の16個の面を結合すると,2つの数独(ナンバープレイス・ナンプレ)型の 16次対角ラテン方陣が得られる.
私はこの四次元方陣を有限体 F4 上の行列を用いて作成した.

上位
面 (1,1)
010155
71382
93612
144111
面 (1,2)
13728
100515
414111
39126
面 (1,3)
61293
111144
155010
82713
面 (1,4)
111414
12639
28137
515100

面 (2,1)
100515
13728
39126
414111
面 (2,2)
71382
010155
144111
93612
面 (2,3)
12639
111414
515100
28137
面 (2,4)
111144
61293
82713
155010

面 (3,1)
155010
82713
61293
111144
面 (3,2)
28137
515100
111414
12639
面 (3,3)
93612
144111
010155
71382
面 (3,4)
414111
39126
13728
100515

面 (4,1)
515100
28137
12639
111414
面 (4,2)
82713
155010
111144
61293
面 (4,3)
39126
414111
100515
13728
面 (4,4)
144111
93612
71382
010155
下位
面 (1,1)
07914
101334
15861
521211
面 (1,2)
101334
07914
521211
15861
面 (1,3)
15861
521211
07914
101334
面 (1,4)
521211
15861
101334
07914

面 (2,1)
131043
70149
251112
81516
面 (2,2)
70149
131043
81516
251112
面 (2,3)
251112
81516
131043
70149
面 (2,4)
81516
251112
70149
131043

面 (3,1)
61158
121152
91407
341013
面 (3,2)
121152
61158
341013
91407
面 (3,3)
91407
341013
61158
121152
面 (3,4)
341013
91407
121152
61158

面 (4,1)
111225
16815
431310
14970
面 (4,2)
16815
111225
14970
431310
面 (4,3)
431310
14970
111225
16815
面 (4,4)
14970
431310
16815
111225

4次3,4-汎斜四次元方陣(完備・非対称・2-相結) [C. Planck]
面 (1,1)
1128193192
2401454881
4980241144
2241613297
面 (1,2)
2541316267
19110211174
20617914115
3594227158
面 (1,3)
4125196189
2371484584
5277244141
22116429100
面 (1,4)
2551306366
18111210175
20717815114
3495226159

面 (2,1)
2481375673
25104217168
2001858121
4188233152
面 (2,2)
11118203182
2301553891
5970251134
21417122107
面 (2,3)
2451405376
28101220165
1971885124
4485236149
面 (2,4)
10119202183
2311543990
5871250135
21517023106

面 (3,1)
13116205180
2281573693
6168253132
21217320109
面 (3,2)
2421435079
3198223162
1941912127
4782239146
面 (3,3)
16113208177
2251603396
6465256129
20917617112
面 (3,4)
2431425178
3099222163
1951903126
4683238147

面 (4,1)
2521336069
21108213172
20418112117
3792229156
面 (4,2)
7122199186
2341514287
5574247138
21816726103
面 (4,3)
2491365772
24105216169
2011849120
4089232153
面 (4,4)
6123198187
2351504386
5475246139
21916627102
出典:W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes, Dover, 1960, p.374.
本書は,同書第2版(Open Court, 1917) の再版である.

C. Planck 氏は,行列を用いて本方陣を作成した.
全ての2-相結四次元方陣は3,4-汎斜である.

その他の四次元方陣

John R. Hendricks 氏は,次のような優れた四次元方陣を作っている:
   6次 包括四次元方陣(3次四次元方陣を内包)
   16次 全汎斜四次元方陣

私は,8次の対称全斜四次元方陣を作成した.こちらの高次元方陣の作品集のページを参照.
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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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