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長方陣

長方陣とは?

 二次元の(m1, m2)-長方陣 (magic rectangle) とは,数を m1×m2 の長方形状に並べ,横方向(行, row)・縦方向(列, column) の和がそれぞれ一定の数(行定和・列定和)となるようにしたものである.対角線和は考えない.(m1, m2)-長方陣は,使われる数が1 から m1m2 までの連続整数であるとき「正規」(normal)であるといい,そうでないとき「非正規」(non-normal)であるという.以下では,正規な長方陣のみを扱う.三次元以上の長方陣も同様に定義される.

対称な二次元長方陣の例を以下に示す.

(3,5)-対称長方陣
1410457
1381315
9111262
(3,7)-対称長方陣
10219165142
34711151819
20817613112
(5,7)-対称長方陣
261983125134
206342414127
371518212933
935221223016
3223115281710

 (奇数,奇数)-次の長方陣は,立体方陣や四次元方陣を作成する際に利用される(全汎斜立体方陣の作成法全汎斜四次元方陣の作成法のページを参照).しかしながら,(奇数,奇数)-次の長方陣の一般的作成は容易ではない(後述).一方,(偶数,偶数)-次の長方陣の作成はさほど困難ではない(下図参照).なお,(奇数,偶数)-次の正規な長方陣は存在しない.

(4,6)-長方陣(非対称)
123222324
192021456
181716987
121110151413

長方陣の存在

 m1, m2 > 1 に対して, 正規な (m1, m2)-二次元長方陣は次のいずれかの場合に限って存在する.
(1) m1, m2 がともに偶数で,かつ,少なくとも一方が4以上.
(2) m1, m2 がともに奇数.
 T. Harmuth 氏が 1881 年にこの定理の証明を発表した.Thomas R. Hagedorn 氏は,この定理の初等的な証明を具体的構成法とともに [2] に発表した(初等的とはいえ,かなり複雑である).彼は更に,[1] 上で次の長方陣の存在を証明した.

(1) (m1, m2, ..., mn)-n 次元長方陣,ここで m1, .., mn > 1 は偶数で, 2を2個以上含むことはない.
(2) (m1, m2, m3)-三次元長方陣,ここで m1, m2, m3 > 1 は奇数で, gcd(m1, m2) > 1 (gcd は最大公約数を表す).

さらに,Hagedorn 氏の証明を一般化することによって,次の長方陣の存在も証明することができる.
(2)' (m1, m2, ..., mn)-n 次元長方陣,ここで m1, .., mn > 1 は奇数で,ある異なる i, j に対して gcd(mi, mj) > 1 .

 これらの結果より,(3,3,5), (3,3,7), (3,5,5), (3,5,9), (3,5,15), (3,7,15) などの三次元長方陣は存在する. Hagedorn 氏は[1] で, (3,5,7)-三次元長方陣が存在するか否かは未解決であるとしていた.私は,2004年4月に (3,5,7)-三次元長方陣を,また,2005年2月に (3,5,11)-三次元長方陣および (3,5,13)-三次元長方陣を発見した.いずれもパソコン(1.46GHz)による探索で発見したものである. (m1, m2, m3)-三次元長方陣が,全ての奇数 m1, m2, m3 > 1 に対して存在するか否かは未解決である.


三次元長方陣の例

(3,3,5)-対称長方陣
第1面
313381330
244112362
1425192037
第2面
29404357
118232845
391142617
第3面
926272132
441034522
163384315

(3,3,7)-対称長方陣
第1面
3343711303334
35233236133112
1051931351432
第2面
253624465442
334726451849
508476281627
第3面
2038172143142
40213916202917
18192241154819

(3,5,7)-対称長方陣 [中村, 2004/04]
第1面
7054359922874
63299345922425
8994389186756
413140344876101
2575978851179
第2面
621010332902351
9110084216069
20263353738086
37461056498615
5583167439644
第3面
279521284749104
5305872667565
50398897681217
81821461137743
10219847715236

(3,5,11)-対称長方陣 [中村, 2005/02]
第1面
51281207914544124755109133
101152205013130961101281067
11962671715124126907831148
4914113116422158316415030
9532771058459661391401997
第2面
1297410314349843113155645
12811273473111913786118125
11252941565883108107211454
4148802915755931323985154
12116011531236816223639237
第3面
69147262710010782618913471
13616102165163814423525117
18135887640142151499910447
15960385670361531161461465
33571619142122218746138115

(3,5,13)-対称長方陣 [中村, 2005/02]
第1面
371061311311612158741711821872652
846955180173931757018318591150
19313436444310189167547815192128
1667915512412381482190998120133
1010211312914613720177571001956127
第2面
8853162185391546016173452417456
1471495117115771669219116886114
33156771321091649832876411940163
82110285104130125189811791454749
1402217215112335136421571134143108
第3面
169135196139191765950678394186
637618897619448158184724111730
6841811181422910795153152160623
46105111165178126211032316141127112
1441709142512213875801836590159


参考文献
[1] Thomas R. Hagedorn, On the existence of magic n-dimensional rectangles, Discrete Mathematics 207 (1999), 53-63.
[2] Thomas R. Hagedorn, Magic retangles revisited, Discrete Mathematics 207 (1999), 65-72.
[3] Marian Trenkler, Magic rectangles, The Mathematical Gazette 83(1999), 102-105.
[4] Harvey D. Heinz & John R. Hendricks, Magic Square Lexicon: Illustrated, self-published, 2000, ISBN 0-9687985-0-0.


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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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