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8次全汎斜立体方陣の完備性定理 (2/3)

 次の補題は完備性定理の証明の核心をなすものである.

補題2
 (aijk) を 8次全汎斜立体方陣(正規または非正規)とする.ただし,i, j, k は 0〜7 の値をとる変数とする.
このとき 2つのセル a000, a444相補的である.

a000a001a002a003a004a005a006a007
a010a011a012a013a014a015a016a017
a020a021a022a023a024a025a026a027
a030a031a032a033a034a035a036a037
a040a041a042a043a044a045a046a047
a050a051a052a053a054a055a056a057
a060a061a062a063a064a065a066a067
a070a071a072a073a074a075a076a077
a100a101a102a103a104a105a106a107
a110a111a112a113a114a115a116a117
a120a121a122a123a124a125a126a127
a130a131a132a133a134a135a136a137
a140a141a142a143a144a145a146a147
a150a151a152a153a154a155a156a157
a160a161a162a163a164a165a166a167
a170a171a172a173a174a175a176a177
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a210a211a212a213a214a215a216a217
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a320a321a322a323a324a325a326a327
a330a331a332a333a334a335a336a337
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a440a441a442a443a444a445a446a447
a450a451a452a453a454a455a456a457
a460a461a462a463a464a465a466a467
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a620a621a622a623a624a625a626a627
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証明
 2つのセル a000, a444 の和が定和の 1/4 であることを証明すればよい.
s を定和とする.
補題1 を方陣の切断面に対して適用することによって,以下の式が導かれる.(全汎斜立体方陣の全ての切断面は汎斜平面方陣である.)

(a000 + a040 + a400 + a440) + (a220 + a260 + a620 + a660) = s,    (2.1)
(a004 + a044 + a404 + a444) + (a224 + a264 + a624 + a664) = s,    (2.2)
(a000 + a004 + a400 + a404) + (a202 + a206 + a602 + a606) = s,    (2.3)
(a040 + a044 + a440 + a444) + (a242 + a246 + a642 + a646) = s,    (2.4)
(a202 + a206 + a242 + a246) + (a220 + a224 + a260 + a264) = s,    (2.5)
(a602 + a606 + a642 + a646) + (a620 + a624 + a660 + a664) = s.    (2.6)

これらの式に対して ((2.1)+(2.2)+(2.3)+(2.4)-(2.5)-(2.6)) / 2 の計算を行うことにより,以下の式が導かれる.
(a000 + a004 + a040 + a044) + (a400 + a404 + a440 + a444) = s.    (2.7)

一方,補題1 を方陣の斜めの切断面に対して適用することによって,以下の式が導かれる.

(a000 + a004 + a440 + a444) + (a222 + a226 + a662 + a666) = s,    (2.8)
(a040 + a044 + a400 + a404) + (a222 + a226 + a662 + a666) = s,    (2.9)
(a000 + a040 + a404 + a444) + (a222 + a262 + a626 + a666) = s,    (2.10)
(a004 + a044 + a400 + a440) + (a222 + a262 + a626 + a666) = s,    (2.11)
(a000 + a400 + a044 + a444) + (a222 + a622 + a266 + a666) = s,    (2.12)
(a040 + a440 + a004 + a404) + (a222 + a622 + a266 + a666) = s.    (2.13)

これらの式に対して ((2.7)+(2.8)-(2.9)+(2.10)-(2.11)+(2.12)-(2.13)) / 4 の計算を行うことにより,以下の式が導かれる.
a000 + a444 = s/4.    証明終

こちらに図解付きの証明がある.(ページが完全に表示されるまで少々時間がかかることがあります.)

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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