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8次全汎斜立体方陣の完備性定理 (1/3)

 本定理の証明には,次の8次汎斜平面方陣に関する補題を要する.

補題1
 (aij) を 8次汎斜平面方陣(正規または非正規)とする.ただし,i, j は 0〜7 の値をとる変数とする.
このとき,8つのセル a00, a04, a22, a26, a40, a44, a62, a66 の和は定和に等しくなる.
8つのセル a01, a05, a23, a27, a41, a45, a63, a67 についても同様である.

a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
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証明
 1番目の性質のみを証明すれば十分である.なぜならば,方陣の第1列を最終列に移動した方陣(これも汎斜平面方陣である)を考えることにより,2番目の性質は1番目の性質に帰着されるからである.
s を定和とする.すると,行・列の条件から,以下の式が導ける.
(a00 + a01 + a02 + a03 + a04 + a05 + a06 + a07) +
(a20 + a21 + a22 + a23 + a24 + a25 + a26 + a27) +
(a40 + a41 + a42 + a43 + a44 + a45 + a46 + a47) +
(a60 + a61 + a62 + a63 + a64 + a65 + a66 + a67) = 4s,    (1.1)

(a01 + a11 + a21 + a31 + a41 + a51 + a61 + a71) +
(a03 + a13 + a23 + a33 + a43 + a53 + a63 + a73) +
(a05 + a15 + a25 + a35 + a45 + a55 + a65 + a75) +
(a07 + a17 + a27 + a37 + a47 + a57 + a67 + a77) = 4s.    (1.2)

同様に,(汎)対角線の条件から,以下の式が導ける.
(a00 + a11 + a22 + a33 + a44 + a55 + a66 + a77) +
(a20 + a31 + a42 + a53 + a64 + a75 + a06 + a17) +
(a40 + a51 + a62 + a73 + a04 + a15 + a26 + a37) +
(a60 + a71 + a02 + a13 + a24 + a35 + a46 + a57) = 4s.    (1.3)
(1.1)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
a70a71a72a73a74a75a76a77
(1.2)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
a70a71a72a73a74a75a76a77
(1.3)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
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これらの式に対して ((1.1)-(1.2)+(1.3))/2 の計算を行うことにより,以下の式が導かれる.
(a00 + a02 + a04 + a06) + (a20 + a22 + a24 + a26) +
(a40 + a42 + a44 + a46) + (a60 + a62 + a64 + a66) = 2s.    (1.4)
(1.4)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
a70a71a72a73a74a75a76a77

一方,(汎)対角線の条件から,以下の式が導ける.
(a00 + a11 + a22 + a33 + a44 + a55 + a66 + a77) +
(a40 + a51 + a62 + a73 + a04 + a15 + a26 + a37) = 2s,    (1.5)

(a02 + a11 + a20 + a37 + a46 + a55 + a64 + a73) +
(a06 + a15 + a24 + a33 + a42 + a51 + a60 + a77) = 2s.    (1.6)
(1.5)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
a70a71a72a73a74a75a76a77
(1.6)
a00a01a02a03a04a05a06a07
a10a11a12a13a14a15a16a17
a20a21a22a23a24a25a26a27
a30a31a32a33a34a35a36a37
a40a41a42a43a44a45a46a47
a50a51a52a53a54a55a56a57
a60a61a62a63a64a65a66a67
a70a71a72a73a74a75a76a77

これらの式に対して ((1.4)+(1.5)-(1.6)) / 2 の計算を行うことにより,以下の式が導かれる.
a00 + a04 + a22 + a26 + a40 + a44 + a62 + a66 = s.    証明終

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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