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各次数の立体方陣

 本ページでは,立体方陣の実例を次数別(3次〜10次)に紹介する.ここで紹介する立体方陣は全て正規である.
用語の定義についてはこちらを参照.立体方陣のクラスについてはこちらを参照.四次元方陣の実例についてはこちらを参照.
[3次] [4次] [5次] [6次] [7次] [8次] [9次] [10次]

3次立体方陣(定和42)

 3次立体方陣はちょうど4個存在する.John R. Hendricks 氏(1929-2007) が 1972年にこのことを証明した([1])(*).いずれの方陣も対称単純方陣である.
(*) Hendricks 氏よりも前に,次の各氏がそれぞれ独立に,3次立体方陣の個数は4個であると主張している([2]).
     石川栄助(1933), D. N. Lehmer(1934), 安部元章(1939).

[1] John R. Hendricks, The Third-Order Magic Cube Complete, Journal of Recreational Mathematics 5:1(1972), 43-50.
[2] 平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, 151.

第1面
18222
20913
41127
第2面
23316
71421
12255
第3面
11724
15198
26610
第1面
16233
20913
61026
第2面
24117
71421
11274
第3面
21822
15198
25512
第1面
12237
22911
81024
第2面
26115
31425
13272
第3面
41820
17196
21516
第1面
10248
23712
91122
第2面
26115
31425
13272
第3面
61719
16215
20418
出典:Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://www.magic-squares.net/)

 3次立体方陣は,1876年に T. Hugel によって初めて作成された.彼の方陣は,上図の一番目の方陣と同等である.

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4次立体方陣(定和130)

 4次立体方陣は,「単純」・「体汎斜」の各クラスの方陣が存在する.いずれのクラスも,対称方陣が存在する.4次立体方陣の総数はまだ求められていない.Water Trump氏は 2003年に,4次の対称な立体方陣の総数がちょうど 44,447,308,800個であることを発見した.

(1) 4次「単純」立体方陣

4次「単純」立体方陣(軸対称・水平面斜) [久留島義太(くるしま よしひろ, ?-1757)]
第1面
162634
44232241
24434221
612364
第2面
607657
17464720
45181948
859585
第3面
56111053
29343532
33303136
1255549
第4面
13505116
40272637
28393825
49141552
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.154

4次「単純」立体方陣(対称) [久留島義太]
第1面
4932481
12372160
8412556
61203613
第2面
15341863
5427436
58233910
3463051
第3面
14351962
5526427
59223811
2473150
第4面
5229454
9402457
5442853
64173316
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.154

4次立体方陣は,日本の和算家,久留島義太(くるしま よしひろ) (?-1757) によって初めて作成された.これらの2つの方陣は,彼の草稿から発見されたものである.
これらの方陣が,世界初の立体方陣である.

4次「単純」立体方陣(対称・水平面斜) [阿部楽方(あべ がくほう)]
第1面
861160
11501455
627592
49125613
第2面
45244417
34273930
23461843
28332940
第3面
25363237
22471942
35263831
48214120
第4面
5295316
636583
10511554
564457
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.107

本立体方陣は対称であり,かつ,各水平面は4次平面方陣である.
本方陣の4枚の面を下図のように集合させると,8次対称平面方陣が得られる.
86116045244417
1150145534273930
62759223461843
4912561328332940
253632375295316
22471942636583
3526383110511554
48214120564457


4次「単純」立体方陣(非対称・水平面汎斜・体相結) [安部元章(あべ げんしょう), 1938]
第1面
6464317
33275416
2248159
11493238
第2面
2602147
31371250
4418635
53153428
第3面
6174220
36265513
2345458
10522939
第4面
3572446
3040951
4119628
56143525
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣の各水平面は,完備かつ相結な 4次汎斜平面方陣である.

4次「単純」立体方陣(対称・体相結) [中村, 2007/11]
第1面
1485724
6318742
36132853
30513811
第2面
6021445
6436219
25563316
39103150
第3面
15345526
4932940
4632259
2061445
第4面
54271435
12375229
2358472
4181764
出典:自作

全ての4次の対称かつ体相結な立体方陣は,クラス「単純」に属する.

(2) 4次「体汎斜」立体方陣

4次「体汎斜」立体方陣(非対称・完備) [A. H. Frost, 1878]
第1面
33313036
28383925
14524915
5591254
第2面
24424321
45191848
595858
264613
第3面
16505113
53111056
35293234
26403727
第4面
577660
462631
22444123
47172046
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本方陣は,世界初の4次体汎斜立体方陣であるものと思われる.

4次「体汎斜」立体方陣(非対称・完備・面相結) [境新(さかい あらた, 1908-1964), 1938]
第1面
43214224
18481945
39253828
30363133
第2面
660757
631624
10561153
51135016
第3面
27372640
34323529
23412244
46204717
第4面
5412559
15491452
588595
361264
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣は,体汎斜完備面相結である.
なお,全ての面相結な立体方陣は体汎斜である.

4次「体汎斜」立体方陣(非対称・非完備・面相結) [摂田寛二]
第1面
1562548
6494017
5522944
60133621
第2面
63103918
2552647
59143522
6513043
第3面
4532845
61123720
8493241
57163324
第4面
62113819
3542746
58153423
7503142
出典:摂田 寛二氏のサイト (http://kanjisetsuda.la.coocan.jp/)

本立体方陣は,体汎斜かつ面相結であるが,完備ではない.(面相結な立体方陣は対称にはなり得ない.)
なお,面相結な4次体汎斜立体方陣に関しては,摂田 寛二氏が多くの研究を行っている.(彼は,「正方連結汎立体四方陣」と呼んでいる.)

4次「体汎斜」立体方陣(非対称・完備・水平面斜) [浦田繁松(うらた しげまつ, 1889-1958), 1941]
第1面
1406227
5930833
24494314
46111756
第2面
6029734
2396128
45121855
23504413
第3面
22514116
4891954
3386425
5732635
第4面
4710205
21524215
5831536
4376326
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣は体汎斜かつ完備であり,かつ,各水平面は4次平面方陣である.
なお,4次の体汎斜立体方陣は,その全ての水平面が4次平面方陣であるならば,面相結体相結にはなり得ない.

4次「体汎斜」立体方陣(非対称・非完備・桂馬跳び) [Guenter Stertenbrink, 2003/11]
第1面
20411455
3930574
10512445
6183526
第2面
15541744
6013831
21481150
3427645
第3面
42195613
2940358
5294623
7622536
第4面
53164318
2593237
47224912
2833663
出典:Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://www.magic-squares.net/)

この立体方陣は体汎斜であり,しかも,1〜64までの数を桂馬跳びによって辿ることができる.

4次「体汎斜」立体方陣(面対称・面相結) [中村, 2004/05]
第1面
1323364
5641249
13204552
6037285
第2面
6235303
11224354
50471815
7263958
第3面
4293661
53442112
16174849
5740258
第4面
6334312
10234255
51461914
6273859
第1面
1323364
5641249
13204552
6037285
第2面
6235303
11224354
50471815
7263958
第3面
19145146
3859627
3126334
42551023
第4面
48491617
2585740
3661429
21125344
出典:自作

これらの方陣はいずれも体汎斜面対称面相結である.
これらの体汎斜立体方陣は,第1面と第2面が共通であるにもかかわらず,本質的に異なるものである.
『方陣の研究』(著:平山諦・阿部楽方, 大阪教育図書)p.160 には,「完全(注:体汎斜の意)立体四方陣の第1面と第2面の数で,第3面の数は全部決定することができる。」と記されているが,この記述は誤りである.

4次「体汎斜」立体方陣(対称) [中村, 2004/05]
第1面
1551460
40294318
30441739
5925613
第2面
31382041
5335816
4571554
42323719
第3面
46283323
1150861
4976212
24452734
第4面
529636
26482135
47223625
5511064
出典:自作.こちらにCSV形式のファイルがある.

この方陣は体汎斜かつ対称な4次立体方陣である.このような方陣は,かつて,存在しないものと信じられていた.Water Trump氏によれば,体汎斜かつ対称な4次立体方陣はちょうど 37,824個存在する.なお,4次の対称体汎斜立体方陣は,面相結体相結にはなり得ない.
対称な4次体汎斜立体方陣に関しては,摂田 寛二氏による研究がある.

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5次立体方陣(定和315)

 5次立体方陣は,「単純」・「体汎斜」・「面斜」の各クラスの方陣が存在する.対称な5次の単純方陣・体汎斜方陣は存在するが,対称な5次面斜方陣が存在するか否かは知られていない.

5次「単純」立体方陣(対称) [Hermann Schubert, 1898]
第1面
12127831470
10611174879
44100157113
53109409122
87187410531
第2面
2581144596
36922354110
75101328819
84156612228
1184980662
第3面
33892071102
67123298511
7676311950
1154197359
24551063793
第4面
6412046778
9846011142
10738942551
16721033490
30811268124
第5面
95215210839
10435861773
13691252682
4778965116
5611243995
出典:Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://www.magic-squares.net/)

5次「単純」立体方陣(対称・水平面汎斜) [Theodor Hugel, 1876]
第1面
9312162435
5294598111
50881015719
10667244078
14308311672
第2面
12298511871
9512361234
51744100113
49901035617
10866223980
第3面
11068213779
11278412073
9412563132
5364299115
47891055816
第4面
46871046018
10970233677
13268211975
9212465331
5584197114
第5面
54104396112
48861025920
10769253876
15288111774
9112264533
出典:Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://www.magic-squares.net/)

本立体方陣は対称であり,かつ,各水平面は5次汎斜平面方陣である.
本方陣は,世界初の5次立体方陣であるものと思われる.

5次「単純」立体方陣(非対称・表面斜・連続同心方陣) [Walter Trump, 2003/06]
Plane No.1
332211342105
2891061999
8582411925
989061129
9732862377
Plane No.2
95801111118
9155656935
16667053110
5685467121
108461511531
Plane No.3
100174834116
11475526212
8350637643
8647451118
10109789226
Plane No.4
38102312547
8159725845
3073566096
8757617139
7924123188
Plane No.5
49944010329
273720107124
10144122741
117361201428
21104138493
出典:Walter Trump 氏のサイト (http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html)

本方陣は表面斜方陣である.また,本方陣には 50〜76 の連続数からなる3次立体方陣が含まれている.従って,本方陣は連続同心方陣でもある.
Trump 氏によると,5次の連続同心面斜方陣は存在しない.

5次「体汎斜」立体方陣(対称) [森山善雄, 1967]
第1面
21405493107
1121455998
7811765064
69831221130
35748810216
第2面
37519510923
34256100114
1198476180
85124132766
71901041832
第3面
53921062539
4458971115
10496377116
12115296882
87101203473
第4面
94108223655
6099113241
4665791187
12267084123
10317317589
第5面
11024385291
9611544357
6276120948
28678112514
19337286105
出典:平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, pp.163-164

本方陣は,世界初の5次体汎斜立体方陣であろうか?

5次「面斜」立体方陣(非対称) [Walter Trump & Christian Boyer, 2003/11]
第1面
25168010490
115984197
4211185275
66722710248
67181191065
第2面
917771670
52641176913
301182112323
26399244114
11617147395
第3面
4761457686
10743383394
8968635837
3293888319
4050816579
第4面
315311210910
12823487100
1033105896
1135796274
56120554935
第5面
12110872059
292812212511
51154112484
7854992460
361104622101
出典:Walter Trump 氏のサイト (http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html)

Walter Trump, Christian Boyer 両氏によるこの方陣は,世界初の5次面斜立体方陣である.このような方陣は,かつて,存在しないものと信じられていた.彼らはコンピュータを用いてこの方陣を発見した.彼らは他にも5次面斜立体方陣を発見している.これらの方陣は,Aale de Winkel 氏のサイト(英文) に掲載されている.

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」   http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
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