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開設日:2004年5月9日,最終更新日:2016年8月26日

立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣

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立体方陣・高次元方陣とは?

 立体方陣(magic cube) とは,数を立方体状に並べ,横方向(, row)・縦方向(, column)・高さ方向(, pillar),および,4本の立体対角線(体斜, 3-斜,triagonal) の和が全て一定の数(定和)となるようにしたものである.いわば,3次元の魔方陣である.m 次立体方陣は,使われる数が1 から m3 までの連続整数であるとき正規(normal)であるといい,そうでないとき非正規(non-normal)であるという.本サイトで扱う方陣は,特に断らない限り全て正規方陣である.
 平面対角線(面斜, 2-斜,diagonal) は定和とならなくてもよい.全ての平面対角線が定和となる立体方陣は面斜立体方陣(diagonal magic cube) と呼ばれる.面斜立体方陣は,次数が5以上の場合に限って存在する.

 同様に,4次元の魔方陣として四次元方陣(magic tesseract) が考えられる.四次元方陣では,行・列・柱・四次元方向(file, 適当な日本語が思いつかない),および8本の四次元対角線(4-斜,quadragonal) の和が全て定和となる.m 次の正規な四次元方陣では,使われる数は1から m4 までの連続整数である.四次元方陣のうち,全ての平面対角線(2-斜)および立体対角線(3-斜)が成立するものを全斜四次元方陣(strictly magic tesseract)と呼ぶ.現在知られている最小の全斜四次元方陣は,管理人が2004年に作成した8次全斜四次元方陣である.

 一般に,全ての2以上の整数 n に対して n 次元方陣が考えられる.Marian Trenkler 氏は,n 次元 m 次 の正規な方陣が全ての整数 n, m (n ≧ 2, m ≧ 3)に対して存在することを証明した.

立体方陣・四次元方陣の例

3次立体方陣(定和42) : 最小次の立体方陣

第1面
10248
23712
91122
第2面
26115
31425
13272
第3面
61719
16215
20418
4次立体方陣(定和130) [久留島義太(くるしま よしひろ, ?-1757)] : 世界初の立体方陣
第1面
162634
44232241
24434221
612364
第2面
607657
17464720
45181948
859585
第3面
56111053
29343532
33303136
1255549
第4面
13505116
40272637
28393825
49141552
5次面斜立体方陣(定和315) [Walter Trump & Christian Boyer, 2003] : 最小次の面斜立体方陣
第1面
25168010490
115984197
4211185275
66722710248
67181191065
第2面
917771670
52641176913
301182112323
26399244114
11617147395
第3面
4761457686
10743383394
8968635837
3293888319
4050816579
第4面
315311210910
12823487100
1033105896
1135796274
56120554935
第5面
12110872059
292812212511
51154112484
7854992460
361104622101
3次四次元方陣(定和123) : 最小次の四次元方陣
面 (1,1)
652434
223566
366423
面 (1,2)
317121
721932
203370
面 (1,3)
272868
296925
672630

面 (2,1)
64374
44754
73545
面 (2,2)
80340
14181
42792
面 (2,3)
37779
78738
83976

面 (3,1)
525615
571353
145455
面 (3,2)
124962
506310
611151
面 (3,3)
591846
164760
485817

3次の立体方陣は4個,3次の四次元方陣は58個存在することが知られている.4次以上の立体方陣・四次元方陣の個数は知られていない.なお,Water Trump氏によれば,4次の対称な立体方陣の個数はちょうど 44,447,308,800個である.
他の立体方陣の例はこちら.他の四次元方陣の例はこちら.

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