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立体方陣・四次元方陣のクラス

[立体方陣] [四次元方陣]

1. 立体方陣のクラス

立体方陣は,以下のクラスに分類される.

また,付加的性質として,「完備」(complete)・「対称」(associated)・「面対称」(plane symmetrical)・「面相結」(2-compact)・「体相結」(3-compact)・「包括」(inlaid) などの性質がある.
用語の定義についてはこちらを参照.)
立体方陣は,次数とクラスによって存在する場合としない場合がある.次の表はクラス別の存在・非存在の一覧である.

立体方陣の存在・非存在
次数単純体汎斜面斜体汎斜面斜面汎斜全汎斜
非対称対称非対称対称非対称対称非対称対称非対称対称非対称対称
×××××××××××
××××××××
×××××××
×××××××
××
×
≧9,奇数
≧9,4x+2 ×××××××
≧9,8x+4 ××××
≧9,8x
○:存在,×:非存在,?:不明

こちら次数別の実例(3次〜10次)を掲げてある.各クラスごとの作成アルゴリズムこちら

※ 各方陣の最初の作者については,Harvey D. Heinz 氏によるサマリ(英文)を参照のこと.
※ 3次立体方陣は常に対称になる.なお,3次立体方陣は4個存在する.こちらを参照
※ 偶数次元の方陣(平面方陣・四次元方陣など)では,対称な(4x+2)次方陣は存在しない.しかし,奇数次元(立体方陣など)ではこの制約はない.
※ (4x+2)次の面汎斜立体方陣・全汎斜立体方陣は存在しない.もし存在したならば,その立体方陣の表面は,定和が奇数である(4x+2)次 (非正規)汎斜平面方陣となる.しかし,そのような平面方陣は存在しないことが知られている.
詳細は,Aale de Winkel 氏のサイト(英文)を参照のこと.
※ (8x+4)次の面汎斜立体方陣・全汎斜立体方陣は存在しない.Aale de Winkel 氏のサイト(英文)を参照.
※ Hans-Bernhard Meyer氏は、対称な5次面斜立体方陣が存在しないことを証明した.彼のサイト(英文)を参照.
対称な (4x+2)次 面斜立体方陣は存在しない.もし存在したならば,その立体方陣の斜めの切断面は,定和が奇数である対称な(4x+2)次 (非正規)平面方陣となる.しかし,そのような平面方陣は存在しないことが知られている.
※ (4x+2)次 体汎斜面斜立体方陣は存在しない.もし存在したならば,その立体方陣の斜めの切断面は,定和が奇数である(4x+2)次 (非正規)汎斜平面方陣となる.しかし,そのような平面方陣は存在しないことが知られている.
※ 8次の対称全汎斜立体方陣は存在しない.こちらを参照
奇数次の体汎斜面斜立体方陣は,全汎斜立体方陣以外には存在が知られていない.
私は,2006年10月に,25次の体汎斜面斜立体方陣(全汎斜ではない)の作成に成功した.実例はこちら(CSV ファイル).なお、素数次の体汎斜面斜立体方陣で、全汎斜でないものの存在は知られていない.
※ 次の方陣については,こちらに40次までの実例を掲げてある.なお,これらの方陣はそれ以上の任意の次数についても作成可能である.
こちらに上記とは別の (2x)次 面斜立体方陣 の系列を掲げてある.これらの方陣は連続同心面斜立体方陣である. 16次 連続同心面斜立体方陣(カラー表示)はこちら.

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2. 四次元方陣のクラス

四次元方陣には,各次元の対角線に関して次の属性が存在する.
平面対角線: 条件なし・対角線成立・汎対角線成立
立体対角線: 条件なし・対角線成立・汎対角線成立
四次元対角線: 対角線成立・汎対角線成立
(四次元対角線が成立することは,四次元方陣の条件に含まれている.)

四次元方陣には,これらの組み合わせで18通りのクラスが考えられる.これらのうちの主要なクラスを以下に掲げる.

(1) 「単純」四次元方陣 (4-斜)
 四次元対角線が成立すること以外には,(汎)対角線に関して特に条件が無い四次元方陣である.
単純四次元方陣は,3以上の全ての次数に対して存在する.

(2) 「汎斜」四次元方陣 (4-汎斜)
 全ての四次元汎対角線が成立する四次元方陣である.
汎斜四次元方陣は,次数が4の倍数,または,7以上の奇数の場合に限って存在する(3次・5次・半偶数次の汎斜四次元方陣は存在しない).

(3) 「体汎斜」四次元方陣 (3-汎斜 + 4-斜)
 全ての三次元汎対角線および四次元対角線が成立する四次元方陣である.
体汎斜四次元方陣は,3次・6次以外の全ての次数に対して存在する.(3次の体汎斜四次元方陣は存在しない.また,6次の体汎斜四次元方陣が存在するか否かは知られていない.)

(4) 「3,4-汎斜」四次元方陣
 全ての三次元汎対角線および四次元汎対角線が成立する四次元方陣である.全ての 2-相結四次元方陣はちょうどこのクラスに属する.
3,4-汎斜四次元方陣は,次数が4の倍数,または,9以上の奇数の場合に限って存在する(3次・5次・7次・半偶数次の 3,4-汎斜四次元方陣は存在しない).

(5) 「全斜」四次元方陣 (2,3,4-斜)
 全ての平面対角線・立体対角線・四次元対角線が成立する四次元方陣である.
全斜四次元方陣が存在するための必要十分条件は知られていない.ただし,8以上の偶数次,および,15以上の奇数次に対しては存在し,3次・4次・5次に対しては存在しない.6次・7次・9次・11次・13次に対して存在するか否かは未解決である.

(6) 「汎斜全斜」四次元方陣 (2,3,4-斜 + 4-汎斜)
 汎斜かつ全斜である四次元方陣のことである.すなわち,全ての平面対角線・立体対角線,および,全ての四次元汎対角線が成立する四次元方陣である.
汎斜全斜四次元方陣が存在するための必要十分条件は知られていない.ただし,8以上の4の倍数次に対しては存在し,3次・4次・5次・半偶数次に対しては存在しない.

(7) 「全汎斜」四次元方陣 (2,3,4-汎斜)
 全ての平面汎対角線・立体汎対角線・四次元汎対角線が成立する四次元方陣である.汎斜全斜四次元方陣の条件よりも真に強いことに注意.
全汎斜四次元方陣は,次数が16の倍数,または,17以上の奇数の場合に限って存在する.

各クラスごとの作成アルゴリズムこちら

備考

四次元方陣の全クラスは以下の18通りである.いずれのクラスも空ではない.

クラス 最小次数 方陣の例 備考
単純 (4-斜) 3 クリック
4-汎斜 (汎斜) 4 クリック
3-斜 (体斜) 4 クリック
3-斜 + 4-汎斜 4 クリック
3-汎斜 (体汎斜) 4 クリック
3-汎斜 + 4-汎斜 (3,4-汎斜) 4 クリック
2-斜 (面斜) 4 クリック
2-斜 + 4-汎斜 8? クリック最小でない可能性あり
2-斜 + 3-斜 (全斜) 8? クリック最小でない可能性あり
2-斜 + 3-斜 + 4-汎斜 (汎斜全斜) 8? クリック最小でない可能性あり
2-斜 + 3-汎斜 8? クリック(*1)最小でない可能性あり
2-斜 + 3-汎斜 + 4-汎斜 8 クリック
2-汎斜 (面汎斜) 9 クリック
2-汎斜 + 4-汎斜 (2,4-汎斜) 13 クリック
2-汎斜 + 3-斜 16? クリック(*2)最小でない可能性あり
2-汎斜 + 3-斜 + 4-汎斜 16? クリック最小でない可能性あり
2-汎斜 + 3-汎斜 (2,3-汎斜) 15 クリック
2-汎斜 + 3-汎斜 + 4-汎斜 (全汎斜) 16 クリック

(*1)(*2) 中村、2010年8月1日

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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