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立体方陣・四次元方陣の作成アルゴリズム

0. 目次

  1. 立体方陣
    1. 体汎斜立体方陣(3-汎斜)
    2. 面斜立体方陣(2,3-斜)
    3. 体汎斜面斜立体方陣(3-汎斜・2,3-斜)
    4. 面汎斜立体方陣(2-汎斜・2,3-斜)
    5. 全汎斜立体方陣(2,3-汎斜)
  2. 四次元方陣
    1. 汎斜四次元方陣(4-汎斜)
    2. 体汎斜四次元方陣(3-汎斜・3,4-斜)
    3. 3,4-汎斜四次元方陣
    4. 全斜四次元方陣(2,3,4-斜)
    5. 汎斜全斜四次元方陣(4-汎斜・2,3,4-斜)
    6. 全汎斜四次元方陣(2,3,4-汎斜)
  3. その他のn次元方陣
    1. n次元4次桂馬跳び方陣    New!

1. 立体方陣の作成アルゴリズム

 立体方陣の一般的作成アルゴリズムを,体汎斜(3-汎斜)面斜(2,3-斜)体汎斜面斜(3-汎斜・2,3-斜)面汎斜(2-汎斜・2,3-斜)全汎斜(2,3-汎斜)の各クラスについて解説する.体汎斜面斜の各クラスについては,半偶数次((4x+2)次)の立体方陣の一般的作成アルゴリズムについても紹介する.半偶数次の立体方陣は,従来,作成が困難であるとされていたものである.
 以下,m を方陣の次数とし,作成する方陣を (aijk) (i,j,k = 0,...,m-1) で表す(添字が0から始まることに注意).なお,gcd(x, y) はx と y の最大公約数を表す.
 用語の定義についてはこちらを参照.立体方陣のクラスについてはこちらを参照.

1.1 体汎斜立体方陣(3-汎斜)の作成アルゴリズム

 体汎斜立体方陣(全ての立体汎対角線が成立)は,次数が4以上の場合には常に存在する.対称体汎斜立体方陣も,同じ条件下で存在する.なお,上位クラスである体汎斜面斜立体方陣全汎斜立体方陣の各作成アルゴリズムも参照のこと.

※ 私は 2008年2月に,6次の対称体汎斜立体方陣を作成した.こちらを参照
面相結な立体方陣は,次数が4の倍数の場合に存在する.面相結立体方陣は必ず体汎斜である.また,面斜対称にはなり得ない.従って,全ての面相結な立体方陣はちょうどクラス「体汎斜」に属する.(なお,平面方陣や四次元方陣では,面相結かつ対称な方陣が存在する.3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムを参照.)


1.2 面斜立体方陣(2,3-斜)の作成アルゴリズム

 面斜立体方陣(全ての平面対角線が成立)は,次数が5以上の場合に限って存在する.ここでは,次数が7以上の場合についてのアルゴリズムを紹介する.なお,上位クラスである体汎斜面斜立体方陣面汎斜立体方陣全汎斜立体方陣の各作成アルゴリズムも参照のこと.

5次および6次面斜立体方陣の実例は各リンクを参照.これらの代数的な構成法は未だ知られていない.
※ Hans-Bernhard Meyer氏は、対称な5次面斜立体方陣が存在しないことを証明した.彼のサイト(英文)を参照.
※ 半偶数次の対称面斜立体方陣は存在しない.


1.3 体汎斜面斜立体方陣(3-汎斜・2,3-斜)の作成アルゴリズム

 体汎斜面斜立体方陣(全ての立体汎対角線および平面対角線が成立)は,偶数次の場合には,次数が8以上でかつ4の倍数の場合に限って存在する.なお,上位クラスである全汎斜立体方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

奇数次の体汎斜面斜立体方陣は,全汎斜立体方陣以外には存在が知られていない.
私は,2006年10月に,25次の体汎斜面斜立体方陣(全汎斜ではない)の作成に成功した.実例はこちら(CSV ファイル)
なお,素数次の体汎斜面斜立体方陣は,全汎斜立体方陣以外には存在が知られていない.


1.4 面汎斜立体方陣(2-汎斜・2,3-斜)の作成アルゴリズム

 面汎斜立体方陣(全ての平面汎対角線が成立)は,次数が8の倍数の場合,または,次数が7以上の奇数の場合に限って存在する.対称面汎斜立体方陣も,同じ条件下で存在する.なお,上位クラスである全汎斜立体方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.


1.5 全汎斜立体方陣(2,3-汎斜)の作成アルゴリズム

 全汎斜立体方陣(全ての立体汎対角線および平面汎対角線が成立)は,次数が8の倍数の場合,または,次数が9以上の奇数の場合に限って存在する.このとき,次数が9次以上の場合は,対称全汎斜立体方陣が存在する.さらに,次数が16以上の8の倍数の場合には,対称かつ体相結全汎斜立体方陣が存在する.
 なお,面相結全汎斜立体方陣は存在しない.

※ 8次の全汎斜立体方陣は常に完備かつ体相結であることが証明できる.従って,8次の対称全汎斜立体方陣は存在しない.

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2. 四次元方陣の作成アルゴリズム

 四次元方陣の一般的作成アルゴリズムを,汎斜(4-汎斜)体汎斜(3-汎斜・3,4-斜)3,4-汎斜全斜(2,3,4-斜)汎斜全斜(4-汎斜・2,3,4-斜)全汎斜(2,3,4-汎斜)の各クラスについて解説する.体汎斜のクラスについては,半偶数次((4x+2)次)の四次元方陣の一般的作成アルゴリズムについても紹介する.半偶数次の四次元方陣は,従来,作成が困難であるとされていたものである.
 以下,m を方陣の次数とし,作成する方陣を (aijkh) (i,j,k,h = 0,...,m-1) で表す(添字が0から始まることに注意).なお,gcd(x, y) はx と y の最大公約数を表す.
 用語の定義についてはこちらを参照.四次元方陣のクラスについてはこちらを参照.

2.1 汎斜四次元方陣(4-汎斜)の作成アルゴリズム

 汎斜四次元方陣(四次元汎対角線が成立)は,次数が4の倍数,または,7以上の奇数の場合に限って存在する(3次・5次・半偶数次の汎斜四次元方陣は存在しない).このとき,次数が7次以上の場合は,対称汎斜四次元方陣が存在する.なお,上位クラスである3,4-汎斜四次元方陣および全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

※ 4次の汎斜四次元方陣は必ず完備かつ4-相結であることが証明できる.従って,立体方陣の場合とは異なり,4次の対称汎斜四次元方陣は存在しない.


2.2 体汎斜四次元方陣(3-汎斜・3,4-斜)の作成アルゴリズム

 体汎斜四次元方陣(三次元汎対角線が成立)は,3次・6次を除く全ての次数に対して存在する(3次の体汎斜四次元方陣は存在しない.また,6次の体汎斜四次元方陣は存在するか否か知られていない).4の倍数次および奇数次の場合は,対称体汎斜四次元方陣が存在する.なお,上位クラスである3,4-汎斜四次元方陣および全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

※ 立体方陣の場合とは異なり,半偶数次の対称な四次元方陣は存在しない.


2.3 3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

 3,4-汎斜四次元方陣(三次元および四次元汎対角線が成立)は,次数が4の倍数,または,9以上の奇数の場合に限って存在する(3次・5次・7次・半偶数次の3,4-汎斜四次元方陣は存在しない).このとき,次数が8次以上の場合は,対称3,4-汎斜四次元方陣が存在する.なお,上位クラスである全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

2-相結(面相結)な四次元方陣は必ず3,4-汎斜であり,また,面斜にはなり得ない.従って,全ての2-相結な四次元方陣はちょうどクラス「3,4-汎斜」に属する.なお,立体方陣の場合とは異なり,8次以上の4の倍数に対しては,2-相結かつ対称な四次元方陣が存在する.
※ 4次の3,4-汎斜四次元方陣は必ず完備かつ2-相結であることが証明できる.


2.4 全斜四次元方陣(2,3,4-斜)の作成アルゴリズム

 全斜四次元方陣(全ての次元の対角線が成立)が存在するための必要十分条件は知られていない.ただし,8以上の偶数次,および,15次以上の奇数次に対しては存在し,3次・4次・5次に対しては存在しない.ここでは,次数が8以上の4の倍数の場合,および,奇数次についてのアルゴリズムを紹介する.なお,上位クラスである汎斜全斜四次元方陣,および,全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

ここで,L13 = lcm{y| 3≦ y ≦13, y は奇数} = 32・5・7・11・13 である(lcm は最小公倍数を表す).

2.5 汎斜全斜四次元方陣(4-汎斜・2,3,4-斜)の作成アルゴリズム

 偶数次の汎斜全斜四次元方陣(四次元汎対角線および全ての次元の対角線が成立)は,次数が8以上の4の倍数の場合に限って存在する.奇数次の汎斜全斜四次元方陣が存在するための条件は知られていない.なお,上位クラスである全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.


2.6 全汎斜四次元方陣(2,3,4-汎斜)の作成アルゴリズム

 全汎斜四次元方陣(全ての次元の汎対角線が成立)は,次数が16の倍数,または,17以上の奇数の場合に限って存在する.このとき,次数が17次以上の場合は,対称全汎斜四次元方陣が存在する.さらに,次数が32以上の16の倍数の場合には,対称かつ4-相結全汎斜四次元方陣が存在する.
 なお,2-相結(面相結)または3-相結(体相結)な全汎斜四次元方陣は存在しない.

※ 16次の全汎斜四次元方陣は必ず完備かつ4-相結であることが証明できる.従って,16次の対称全汎斜四次元方陣は存在しない.

ここで,L15 = lcm{y| 3≦ y ≦15, y は奇数} = 32・5・7・11・13 である(lcm は最小公倍数を表す).

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3. その他のn次元方陣の作成アルゴリズム

 ここでは,特定の性質を持つn次元方陣の作成アルゴリズムについて述べる.

3.1 n次元4次桂馬跳び方陣の作成アルゴリズム

 桂馬跳び方陣とは,方陣のセル(a)からセル(a+1)への移動 (a=1,2,...) が常に(2次元の)桂馬跳びになるような方陣のことをいう.ここでは,次元がn,次数が4の場合について述べる.
nが3以上の奇数であるとき,n次元4次桂馬跳び方陣は存在する.この場合,方陣は2進数を用いた一般的な作成アルゴリズムによって構成可能である.なお,n = 2 に対しては存在せず(そもそも単なる桂馬跳びによる周遊が不可能),nが4以上の偶数のときに存在するか否かは知られていない.

4次桂馬跳び方陣の5次元の例7次元の例はこちら.

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参考文献
大森清美, 『新編魔方陣』, 冨山房, 1992, ISBN 4-572-00696-2.
平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983.
William H. Benson & Oswald Jacoby, Magic Cubes: New Recreations, Dover, 1981, ISBN 0-486-24140-8.
Marian Trenkler, Magic cubes, The Mathematical Gazette 82 (1998), 56-61.
Marian Trenkler, A construction of magic cubes, The Mathematical Gazette 84 (2000), 36-41.
Marian Trenkler, Magic p-dimensional cubes of order n=/2(mod 4), Acta Arithmetica 92 (2000), 189-194.
Marian Trenkler, Magic p-dimensional cubes, Acta Arithmetica 96 (2001), 361-364.
Thomas R. Hagedorn, On the existence of magic n-dimensional rectangles, Discrete Mathematics 207 (1999), 53-63.
Thomas R. Hagedorn, Magic retangles revisited, Discrete Mathematics 207 (1999), 65-72.
Guenter Stertenbrink & Jean Charles Meyrignac, Computing Magic Knight Tours, http://magictour.free.fr/


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本ページの最終更新日:2016年8月26日
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