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体汎斜面斜立体方陣の作成アルゴリズム

1. 4の倍数次

 偶数次の体汎斜面斜立体方陣は,次数が8以上でかつ4の倍数である場合に限って存在する.このとき,次数が8の倍数である場合は,対称体汎斜面斜立体方陣が存在する.なお,全汎斜立体方陣の作成アルゴリズムも参照のこと.

1.1 非対称な体汎斜面斜立体方陣 (m = 4x,m ≧ 12)

求める体汎斜面斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は完備となる.
aijk = bijk m2 + bjki m + bkij + 1,

ここで
bijk = Tm(k) または m - 1 - Tm(k),
Tm(x) = x (x < m/2), 3m/2-1-x (その他)    (体汎斜立体方陣のものと同一).

bijk = Tm(k) となるのは次のいずれかの場合である.

bijk = m - 1 - Tm(k) となるのはその他の場合,すなわち,次のいずれかの場合である.

m = 12 の場合の bij0 (k = 0 の面) は次のようになる.
001101111001101111
110011110110011110
011011011011011011
111101100111101100
110110110110110110
011110011011110011
001101111001101111
110011110110011110
011011011011011011
111101100111101100
110110110110110110
011110011011110011


※ 本アルゴリズムは m = 8 の場合にも適用可能ではある.しかしながら,8次の場合には,作成される方陣は全汎斜立体方陣となる.なお,8次の全汎斜ではない完備体汎斜面斜立体方陣の実例はこちらを参照

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1.2 対称な体汎斜面斜立体方陣 (m = 8x,m ≧ 8)

求める体汎斜面斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は体相結となる.
aijk = 83(m/8)2 bijk + 83(m/8) cijk + 83 dijk + eijk + 1.

ここで
bijk = [i/8] ( {(i + 4j + 2k + 1) mod 8} < 4 ),
(m/8) - 1 - [i/8] ( {(i + 4j + 2k + 1) mod 8} ≧ 4 ),
cijk = [j/8] ( {(2i + j + 4k + 1) mod 8} < 4 ),
(m/8) - 1 - [j/8] ( {(2i + j + 4k + 1) mod 8} ≧ 4 ),
dijk = [k/8] ( {(4i + 2j + k + 1) mod 8} < 4 ),
(m/8) - 1 - [k/8] ( {(4i + 2j + k + 1) mod 8} ≧ 4 ),
eijk = 28 B[8]ijk + 27 B[7]ijk + 26 B[6]ijk + 25 B[5]ijk + 24 B[4]ijk + 23 B[3]ijk + 22 B[2]ijk + 2 B[1]ijk + B[0]ijk.

バイナリ方陣 B[0]ijk〜B[8]ijk は以下のように定義される.
B[8]ijk = (i2 + j1 + k0) mod 2,
B[7]ijk = (i2 + i1 + j1 + j0 + k0) mod 2,
B[6]ijk = (i2 + i0 + j1 + j0 + k0) mod 2,
B[5]ijk = (i0 + j2 + k1) mod 2,
B[4]ijk = (i0 + j2 + j1 + k1 + k0) mod 2,
B[3]ijk = (i0 + j2 + j0 + k1 + k0) mod 2,
B[2]ijk = (i1 + j0 + k2) mod 2,
B[1]ijk = (i1 + i0 + j0 + k2 + k1) mod 2,
B[0]ijk = {i0 + j2 + j1 + k2 + k1 + (j1+j0)(k1+k0)} mod 2.
ここで
i2 = [i/4] mod 2,   i1 = [i/2] mod 2,   i0 = i mod 2,
j2 = [j/4] mod 2,   j1 = [j/2] mod 2,   j0 = j mod 2,
k2 = [k/4] mod 2,   k1 = [k/2] mod 2,   k0 = k mod 2.

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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