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面汎斜立体方陣の作成アルゴリズム

[8の倍数次] [奇数次]

1. 8の倍数次

 偶数次の面汎斜立体方陣は,次数が8の倍数の場合に限って存在する.対称面汎斜立体方陣も,同じ条件下で存在する.なお,上位クラスである全汎斜立体方陣のページも参照のこと.

1.1 非対称な面汎斜方陣 (m = 8x)

求める面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Tm(bijk) m2 + Tm(cijk) m + Tm(dijk) + 1,

ここで
Tm(x) = x (x < m/2), 3m/2-1-x (その他)    (体汎斜立体方陣のものと同一).

bijk, cijk, dijk は以下の通りに定義される.

i+j+k が偶数であるとき:
bijk ≡ i + (m/4)j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ (m/4)i + j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/2)j + k   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

i+j+k が奇数であるとき:
bijk ≡ -i - (m/4)j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ -(m/4)i - j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/2)j + k   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

ここで
s = -1 (m ≡ 24 (mod. 32) のとき), 1 (その他).

1.2 対称な面汎斜方陣 (m = 8x, m ≧ 8)

求める対称面汎斜立体方陣は,対称な体汎斜面斜方陣と同様な方法で作成できる.唯一の相違点はバイナリ方陣 B[0]ijkの定義である.
B[0]ijk = {i0 + j2 + j0 + k2 + k0 + (j1+j0)(k1+k0)} mod 2.

この方法で作られる方陣は,体相結にもなる.


備考 次数が16以上の場合には,別なアルゴリズムも存在する.

(1) m = 16x の場合

求める対称面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Tm(bijk) m2 + Tm(cijk) m + Um(dijk) + 1,

ここで
Tm(x) = x (x < m/2), 3m/2-1-x (その他)
Um(x) = x (x < m/4 または x ≧ 3m/4), m-1-x (その他).
体汎斜立体方陣のものと同一)

bijk, cijk, dijk は以下の通りに定義される.

i+j+k が偶数であるとき:
bijk ≡ i + (m/4)j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ (m/4)i + j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/8)j + k + 3m/16   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

i+j+k が奇数であるとき:
bijk ≡ -i - (m/4)j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ -(m/4)i - j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/8)j + k + 3m/16   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

ここで
s = -1 (m ≡ 24 (mod. 32) のとき), 1 (その他).

(2) m = 16x+8, m ≧ 24 の場合

求める対称面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Tm(bijk) m2 + Tm(cijk) m + Um,4(dijk) + 1.

Tm(x) の定義は m = 16x の場合を参照.Um,4(x) の定義は全汎斜立体方陣のページで述べる.
bijk, cijk, dijk は以下の通りに定義される.

i+j+k が偶数であるとき:
bijk ≡ i + (m/4)j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ (m/4)i + j - (m/4+s)k   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/8)j + 4k + 3(m/8+1)/2   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

i+j+k が奇数であるとき:
bijk ≡ -i - (m/4)j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ -(m/4)i - j + (m/4+s)k + m/2   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ (m/4)i + (m/8)j + 4k + 3(m/8+1)/2   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

ここで
s = -1 (m ≡ 24 (mod. 32) のとき), 1 (その他).

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2. 奇数次

 奇数次の面汎斜立体方陣は,次数が7以上の場合に限って存在する.奇数次の対称面汎斜立体方陣も,同じ条件下で存在する.
以下において,gcd は最大公約数を表す.

2.1 m = 2x+1, m ≧ 7, gcd(m, 3x5) = 1 の場合(対称面汎斜方陣)

この場合,m は 3, 5 のいずれでも割り切れない.
求める面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = bijk m2 + cijk m + dijk + 1,

ここで
bijk ≡ i + 2j + 3k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ i + 3j + 2k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ 2i + 3j - k + {(m-1)/2+2}   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,

2.2 m = 2x+1, m ≧ 7, 1 < gcd(m, 3x5) < m の場合(対称面汎斜方陣)

この場合,q = gcd(m, 3x5), p = m/q とおくと,p > 1, q > 1 である.
求める面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Sm,q(bijk) m2 + Sm,q(cijk) m + Sm,q(dijk) + 1,

ここで
bijk ≡ i + 2j + 3k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ i + 3j + 2k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ 2i + 3j - k + {(m-1)/2+2}   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,
Sm,q(x) = Qp,q([x/q], x mod q).

ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す.

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる.
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

2.3 m = 2x+1, m ≧ 7, gcd(m, 3x5) = m の場合(対称面汎斜方陣)

この場合,m = 15 である.
求める面汎斜立体方陣 aijk (i,j,k = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = S*m(bijk) m2 + S*m(cijk) m + S*m(dijk) + 1,

ここで
bijk ≡ i + 2j + 3k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ bijk < m,
cijk ≡ i + 3j + 2k + {(m-1)/2+3}   (mod. m),   0 ≦ cijk < m,
dijk ≡ 2i + 3j - k + {(m-1)/2+2}   (mod. m),   0 ≦ dijk < m,
S*15(x) = R3,5(x mod 3, x mod 5) - 1.

R3,5 は (3,5)-対称長方陣である.詳細は全汎斜立体方陣のページを参照.

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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