n次元4次 桂馬跳び方陣の作成法
桂馬跳び方陣とは,方陣のセル(a)からセル(a+1)への移動 (a=1,2,...) が常に(2次元の)桂馬跳びになるような方陣のことをいう.
ここでは,次元が3以上・次数が4の桂馬跳び方陣を考える.
n が3以上の奇数であるとき,n次元4次の桂馬跳び方陣は,2進数行列を用いて次のように構成できる.
n = 3 :
求める方陣 M は次式で与えられる.
M[2x0 + x1, 2x2 + x3, 2x4 + x5] = 1 + 20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4 + 25a5,
  a0     0 1 0 1 0 1     x0  
  a1     0 1 1 1 0 1     x1 + 1  
  a2     1 1 1 0 1 0     x2   (mod. 2).
  a3     1 1 1 0 1 1     x3    
  a4     1 0 0 1 0 1     x4  
  a5     1 1 1 1 1 1     x5  
ただし,ak, xk (k = 0, 1, ..., 5) はいずれも0または1である.
(x1 の代わりに x1 + 1 となっているのは,閉じた桂馬道(即ち,方陣の最大数から1への移動も桂馬跳びになる)にするための補正である.)
この式によって得られる M は 1,3-斜桂馬跳び方陣となる.
 M は3-汎斜(体汎斜)も成立し体汎斜立体方陣となるが,これは3次元の特殊性による.n > 3 の場合は n-汎斜は成立しない.
一般に,n次元4次のn-汎斜桂馬跳び方陣が存在するのは n = 3 のときに限る.
n = 5 :
求める方陣 M は次式で与えられる.
M[2x0 + x1, 2x2 + x3, 2x4 + x5, 2x6 + x7, 2x8 + x9] = 1 + 20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4 + 25a5 + 26a6 + 27a7 + 28a8 + 29a9,
  a0     0 1 0 1 0 1 0 1 0 1     x0  
  a1     0 1 1 1 0 1 0 1 0 1     x1 + 1  
  a2     0 1 1 1 1 1 0 1 0 1     x2  
  a3     0 1 1 1 1 1 1 1 0 1     x3    
  a4     1 1 1 0 1 0 1 0 1 0     x4   (mod. 2).
  a5     1 1 1 1 1 0 1 0 1 0     x5    
  a6     1 1 1 1 1 1 1 0 1 0     x6  
  a7     1 1 1 1 1 1 1 0 1 1     x7    
  a8     1 0 0 1 0 1 0 1 0 1     x8  
  a9     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     x9  
ただし,ak, xk (k = 0, 1, ..., 9) はいずれも0または1である.
この式によって得られる M1,3,5-斜桂馬跳び方陣となる.
n = 7 :
求める方陣 M は次式で与えられる.
M[2x0 + x1, 2x2 + x3, 2x4 + x5, 2x6 + x7, 2x8 + x9, 2x10 + x11, 2x12 + x13] =
1 + 20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4 + 25a5 + 26a6 + 27a7 + 28a8 + 29a9 + 210a10 + 211a11 + 212a12 + 213a13,
  a0     0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1     x0  
  a1     0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1     x1 + 1  
  a2     0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1     x2  
  a3     0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1     x3    
  a4     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1     x4  
  a5     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1     x5    
  a6     1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0     x6   (mod. 2).
  a7     1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0     x7    
  a8     1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0     x8  
  a9     1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0     x9    
  a10     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0     x10  
  a11     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1     x11    
  a12     1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1     x12  
  a13     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     x13  
ただし,ak, xk (k = 0, 1, ..., 13) はいずれも0または1である.
この式によって得られる M1,3,5,7-斜桂馬跳び方陣となる.
一般に,n が3以上の奇数の場合,同様の方法で 1,3,...,n-斜桂馬跳び方陣を作ることができる.
 n が4以上の偶数の場合,同様の方法をとっても,n-斜が成立せず,Mは準方陣にしかならない.
  なお,n が4以上の偶数のときに n次元4次の桂馬跳び方陣が存在するか否かは未解決である.
備考
上記の式の逆変換式は以下の通りである.
n = 3 :
  x0     0 0 1 0 1 1     a0  
  x1 + 1     1 0 1 0 0 1     a1  
  x2     1 1 0 0 0 0     a2   (mod. 2)
  x3       0 0 0 1 0 1     a3  
  x4     0 1 1 0 1 0     a4  
  x5     0 0 1 1 0 0     a5  
n = 5 :
  x0     0 0 0 0 1 0 0 0 1 1     a0  
  x1 + 1     1 0 0 0 1 0 0 0 0 1     a1  
  x2     1 1 0 0 0 0 0 0 0 0     a2  
  x3       0 0 0 0 1 1 0 0 0 0     a3  
  x4     0 1 1 0 0 0 0 0 0 0     a4   (mod. 2)
  x5       0 0 0 0 0 1 1 0 0 0     a5  
  x6     0 0 1 1 0 0 0 0 0 0     a6  
  x7       0 0 0 0 0 0 0 1 0 1     a7  
  x8     0 0 0 1 1 0 0 0 1 0     a8  
  x9     0 0 0 0 0 0 1 1 0 0     a9  
n = 7 :
  x0     0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1     a0  
  x1 + 1     1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1     a1  
  x2     1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     a2  
  x3       0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0     a3  
  x4     0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     a4  
  x5       0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0     a5  
  x6     0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     a6   (mod. 2)
  x7       0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0     a7  
  x8     0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0     a8  
  x9       0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0     a9  
  x10     0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0     a10  
  x11       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1     a11  
  x12     0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0     a12  
  x13     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0     a13  
これらの式を用いることによって,方陣が正規であり,かつ,方陣のセル(a)からセル(a+1)への移動 (a=1,2,...) が常に桂馬跳びであることが導かれる.
                                                                                                             
2016年8月26日 中村 光利
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」 http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
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