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汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

[4の倍数次] [奇数次]

1. 4の倍数次

 偶数次の汎斜四次元方陣は,次数が4の倍数の場合に限って存在する.このとき,より強い条件を満たす3,4-汎斜四次元方陣が存在する.3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムを参照せよ.

付記
 次数 m = 4x の汎斜四次元方陣で3,4-汎斜ではないものは,以下のXmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって作成することができる.なお,この方法で作られる方陣は完備かつ4-相結である.

   LP({1,m/4,m/4,m/2},{m/2,1,m/4,m/4},{m/4,m/2,1,m/4},{m/4,m/4,m/2,1})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]

付記
 4次の汎斜四次元方陣は常に完備かつ4-相結であることが証明できる.

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2. 奇数次

 奇数次の汎斜四次元方陣は,次数が7以上の場合に限って存在する.対称汎斜四次元方陣も,同じ条件下で存在する.
以下において,gcd は最大公約数を表す.

2.1 m = 2x+1, m ≧ 7, gcd(m, 3x5) = 1 の場合(対称汎斜方陣)

この場合,m は 3, 5 のいずれでも割り切れない.
求める汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijkh = bijkh m3 + cijkh m2 + dijkh m + eijkh + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - j + k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + j - k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + j + k - h + 1   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m.

この方陣は,XmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって以下のように表現される.
   LP({2,1,1,1}+2,{2,-1,1,1}+1,{2,1,-1,1}+1,{2,1,1,-1}+1)

2.2 m = 2x+1, m ≧ 7, 1 < gcd(m, 3x5) < m の場合(対称汎斜方陣)

この場合,q = gcd(m, 3x5), p = m/q とおくと,p > 1, q > 1 である.
求める汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Sm,q(bijkh) m3 + Sm,q(cijkh) m2 + Sm,q(dijkh) m + Sm,q(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - j + k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + j - k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + j + k - h + 1   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m,
Sm,q(x) = Qp,q([x/q], x mod q).

ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す.

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる.
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

2.3 m = 2x+1, m ≧ 7, gcd(m, 3x5) = m の場合(対称汎斜方陣)

この場合,m = 15 である.
求める汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = S*m(bijkh) m3 + S*m(cijkh) m2 + S*m(dijkh) m + S*m(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - j + k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + j - k + h + 1   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + j + k - h + 1   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m,
S*15(x) = R3,5(x mod 3, x mod 5) - 1.

R3,5 は (3,5)-対称長方陣である.詳細は全汎斜立体方陣のページを参照.

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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