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3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

[4の倍数次] [奇数次]

1. 4の倍数次

 偶数次の3,4-汎斜四次元方陣は,次数が4の倍数の場合に限って存在する.次数が4以外ならば,対称3,4-汎斜四次元方陣が存在する.なお,全ての4の倍数次に対して,2-相結3,4-汎斜四次元方陣が存在する.(2-相結な四次元方陣は必ず3,4-汎斜である.また,面斜にはなり得ない.)

1.1 非対称な3,4-汎斜方陣(完備・2-相結) (m = 4x, m ≧ 4)

 求める3,4-汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は完備かつ2-相結である.
aijkh = Tm(bijkh) m3 + Tm(cijkh) m2 + Tm(dijkh) m + Tm(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ i + (m/2)j + (m/2)k + (m/2)h   (mod. m),   0≦bijkh<m,
cijkh ≡ (m/2)i + j + (m/2)k + (m/2)h   (mod. m),   0≦cijkh<m,
dijkh ≡ (m/2)i + (m/2)j + k + (m/2)h   (mod. m),   0≦dijkh<m,
eijkh ≡ (m/2)i + (m/2)j + (m/2)k + h   (mod. m),   0≦eijkh<m,
Tm(x) = x (x<m/2 のとき), 3m/2-1-x (その他).

Tm(x) の定義は,体汎斜立体方陣のものと同一である.

この方陣は,XmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって以下のように表現される.
m = 4:
   LP({1,2,2,2},{2,1,2,2},{2,2,1,2},{2,2,2,1})= [0,1,3,2]
一般に:
   LP({1,m/2,m/2,m/2},{m/2,1,m/2,m/2},{m/2,m/2,1,m/2},{m/2,m/2,m/2,1})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]

付記
 4次の3,4-汎斜四次元方陣は常に完備かつ2-相結であることが証明できる.一方,8次以上の4の倍数次に対しては,3,4-汎斜四次元方陣で,2-相結でないものが存在する.次数 m が7と互いに素であるならば,このような四次元方陣は,下記のXmlHypercube formatによって与えられる.この式によって得られる3,4-汎斜四次元方陣は4-相結ですらない.

m ≧ 8 かつ gcd(m, 7) = 1: (3,4-汎斜・完備・非4-相結)
   LP({1,2,2,2},{2,1,2,2},{2,2,1,2},{2,2,2,1})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]

m = 4 に対しては,前述の通り本式は2-相結方陣を与える.なお,m が7と互いに素でない場合にも,同様のXmlHypercube formatによる式が存在する.

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1.2 対称な3,4-汎斜方陣(2-相結) (m = 4x, m ≧ 8)

 求める対称3,4-汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は,2-相結である.
aijkh = bijkh m3 + cijkh m2 + dijkh m + eijkh + 1,

ここで
bijkh = Hm(i) (j+k+h が偶数),    m - 1 - Hm(i) (j+k+h が奇数),
cijkh = Hm(j) (i+k+h が偶数),    m - 1 - Hm(j) (i+k+h が奇数),
dijkh = Hm(k) (i+j+h が偶数),    m - 1 - Hm(k) (i+j+h が奇数),
eijkh = Hm(h) (i+j+k が偶数),    m - 1 - Hm(h) (i+j+k が奇数),
Hm(x) = H'm(x) (x < m/2),    H'm(m-1-x) (x ≧ m/2).

H'm(x) (0 ≦ x < m/2)は以下の式によって定義される.

m が8の倍数であるとき:
H'm(x) = x (x ≡ 0 or 3 (mod. 4)),
m - 1 - x (x ≡ 1 or 2 (mod. 4)).

m が8の倍数でない4の倍数であるとき:
H'm(x) = x (x < m/2-5, x ≡ 0 or 3 (mod. 4), または, x = m/2-4),
m - 1 - x (その他).

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2. 奇数次

 奇数次の3,4-汎斜四次元方陣は,次数が9以上の場合に限って存在する.対称3,4-汎斜四次元方陣も,同じ条件下で存在する.
以下において,gcd は最大公約数を表す.

2.1 m = 2x+1, m ≧ 9, gcd(m, 3x5x7) = 1 の場合(対称汎斜方陣)

この場合,m は 3, 5, 7 のいずれでも割り切れない.
求める3,4-汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijkh = bijkh m3 + cijkh m2 + dijkh m + eijkh + 1,

ここで
bijkh ≡ 4i + j + k + h + 3   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 4i - j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 4i + j - k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 4i + j + k - h + 2   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m.

この方陣は,XmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって以下のように表現される.
   LP({4,1,1,1}+3,{4,-1,1,1}+2,{4,1,-1,1}+2,{4,1,1,-1}+2)

2.2 m = 2x+1, m ≧ 9, 1 < gcd(m, 3x5x7) < m の場合(対称汎斜方陣)

この場合,q = gcd(m, 3x5x7), p = m/q とおくと,p > 1, q > 1 である.
求める3,4-汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Sm,q(bijkh) m3 + Sm,q(cijkh) m2 + Sm,q(dijkh) m + Sm,q(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 4i + j + k + h + 3   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 4i - j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 4i + j - k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 4i + j + k - h + 2   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m,
Sm,q(x) = Qp,q([x/q], x mod q).

ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す.

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる.
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

2.3 m = 2x+1, m ≧ 9, gcd(m, 3x5x7) = m の場合(対称汎斜方陣)

この場合,m は 15 (= 3x5), 21 (= 3x7), 35 (= 5x7), 105 (= 3x5x7) のいずれかである.
求める3,4-汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = S*m(bijkh) m3 + S*m(cijkh) m2 + S*m(dijkh) m + S*m(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 4i + j + k + h + 3   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 4i - j + k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 4i + j - k + h + 2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 4i + j + k - h + 2   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m,
S*15(x) = R3,5(x mod 3, x mod 5) - 1,
S*21(x) = R3,7(x mod 3, x mod 7) - 1,
S*35(x) = R5,7(x mod 5, x mod 7) - 1,
S*105(x) = R3,5,7(x mod 3, x mod 5, x mod 7) - 1.

R3,5, R3,7, R5,7, R3,5,7 はそれぞれ (3,5)-対称長方陣,(3,7)-対称長方陣,(5,7)-対称長方陣,および (3,5,7)-対称長方陣である.詳細は全汎斜立体方陣のページを参照.

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本ページの最終更新日:2016年8月8日
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