English   Japanese
Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

体汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

[4の倍数次] [奇数次] [半偶数次]

1. 4の倍数次

 全ての4の倍数次に対して,体汎斜四次元方陣が存在する.このとき,より強い条件を満たす3,4-汎斜四次元方陣が存在する.3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムを参照せよ.

付記
 4次の対称3,4-汎斜四次元方陣は存在しないが,4次の対称体汎斜四次元方陣は存在する.こちらを参照

Back

2. 奇数次

 奇数次の体汎斜四次元方陣は,次数が5以上の場合に限って存在する.対称体汎斜四次元方陣も,同じ条件下で存在する.

2.1 m = 2x+1, m ≧ 5 で,m が3の倍数でない場合(対称体汎斜方陣)

求める体汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijkh = bijkh m3 + cijkh m2 + dijkh m + eijkh + 1,

ここで
bijkh ≡ i + j + k + h + (m+3)/2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ i - j + k + h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ i + j - k + h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ i + j + k - h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m.

この方陣は,XmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって以下のように表現される.
   LP({1,1,1,1}+(m+3)/2,{1,-1,1,1}+(m+1)/2,{1,1,-1,1}+(m+1)/2,{1,1,1,-1}+(m+1)/2)

2.2 m = 2x+1, m ≧ 5 で,m が3の倍数である場合(対称体汎斜方陣)

求める体汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
aijk = Sm,3(bijkh) m3 + Sm,3(cijkh) m2 + Sm,3(dijkh) m + Sm,3(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ i + j + k + h + (m+3)/2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ i - j + k + h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ i + j - k + h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ i + j + k - h + (m+1)/2   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m.
Sm,3(x) = Qm/3,3([x/3], x mod 3).

ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す.

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる.
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

Back

3. 半偶数次

 半偶数次の体汎斜四次元方陣は,次数が10以上の場合に存在する.なお,対称な半偶数次四次元方陣は存在しない.

※ 6次の体汎斜四次元方陣が存在するか否かは知られていない.

3.1 非対称な体汎斜方陣 (m = 4x+2, m ≧ 10)

 求める体汎斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.
m が3の倍数でない場合:
aijkh = bijkh (m/2)4 + cijkh (m/2)3 + dijkh (m/2)2 + eijkh ijkh + 1,

m が3の倍数である場合:
aijkh = bijkh (m/2)4 + Sm/2,3(cijkh) (m/2)3 + Sm/2,3(dijkh) (m/2)2 + Sm/2,3(eijkh (m/2) + Sm/2,3(fijkh) + 1,

ここで
Sm/2,3(x) = Qm/6,3([x/3], x mod 3).

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる(全汎斜立体方陣用の定義と同一).
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

bijkh, cijkh, dijkh, eijkh, fijkh は次のように定義される.
bijkh = G16(v, z),
cijkh ≡ J(i) + J(j) + J(k) + J(h)   (mod. m/2),   0 ≦ cijk < m/2,
dijkh ≡ J(i) - J(j) + J(k) + J(h)   (mod. m/2),   0 ≦ dijk < m/2,
eijkh ≡ J(i) + J(j) - J(k) + J(h)   (mod. m/2),   0 ≦ eijk < m/2,
fijkh ≡ J(i) + J(j) + J(k) - J(h)   (mod. m/2),   0 ≦ fijk < m/2,

ここで
J(x) = x/2   (x が偶数),    (m-1-x)/2   (x が奇数),
v = 8(i mod 2) + 4(j mod 2) + 2(k mod 2) + (h mod 2),   (0 ≦ v < 16),
z ≡ J(i) + J(j) - J(k) - J(h)   (mod. m/2),   0 ≦ z < m/2.

GN(v, z) (N は2のべき乗, 0 ≦ v < N, z ≧ 0)は次のように定義される.この定義は面斜立体方陣のものと同一である.

v が偶数のとき:
GN(v, 0) = v,
GN(v, 1) = v + 1,
GN(v, 2) = N/2 - 1 - v/2,
GN(v, 3) = N - 1 - v/2,
GN(v, 2x+4) = N - 1 - v    (x ≧ 0),
GN(v, 2x+5) = v    (x ≧ 0).

v が奇数のとき:
GN(v, 0) = v,
GN(v, 1) = v - 1,
GN(v, 2) = N/2 - 1 - (v-1)/2,
GN(v, 3) = N - 1 - (v-1)/2,
GN(v, 2x+4) = N - 1 - v    (x ≧ 0),
GN(v, 2x+5) = v    (x ≧ 0).

Back


Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

中村 光利(メールはこちら) メールを送信するためには JavaScript を有効にして下さい.
【特定電子メール法に基づく表示】広告メール、迷惑メールの送信はお断りします

本ページの最終更新日:2016年8月8日
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」   http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
Copyright © 2004-2016, Mitsutoshi Nakamura. All rights reserved.

track feed 立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣 powered by InfoMaker RSS
SEO
loading
立体方陣と高次元方陣