English   Japanese
Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

汎斜全斜四次元方陣の作成アルゴリズム

1. 4の倍数次

 偶数次の汎斜全斜四次元方陣は,次数が8以上の4の倍数の場合に限って存在する.なお,次数が16の倍数の場合には,より強い条件を満たす全汎斜四次元方陣が存在する(こちらを参照).

1.1 非対称な汎斜全斜四次元方陣(完備) (m = 4x,m ≧ 8)

求める汎斜全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は完備となる.
aijkh = bijkh m3 + bjkhi m2 + bkhij m + bhijk + 1,

ここで
bijkh = Tm(h) (Bm/2( i mod (m/2), j mod (m/2), k mod (m/2) ) = 0 のとき),
m - 1 - Tm(h) (Bm/2( i mod (m/2), j mod (m/2), k mod (m/2) ) = 1 のとき),
Tm(x) = x (x < m/2), 3m/2-1-x (その他).

Br(u, v, w) (ただし r = m/2, u = i mod (m/2), v = j mod (m/2), w = k mod (m/2)) は,r 次の面斜バイナリ立体方陣(全セルが0または1である非正規面斜立体方陣)である.この構成法は以下の通りである.

(1) r = 4x , r ≧ 4 (m = 8x, m ≧ 8) の場合

Br(u, v, w) (u, v, w = 0, ..., r-1) は以下の式によって与えられる.
Br(u, v, w) = [(Tr(u) + Tr(v) + Tr(w)) / (r/2)] mod 2.

r = 4 (m = 8) の場合の例を以下に示す.

B4(u, v, w)

w = 0
0011
0101
1010
1100
w = 1
0101
1100
0011
1010
w = 2
1010
0011
1100
0101
w = 3
1100
1010
0101
0011


(2) r = 4x+2, r ≧ 6 (m = 8x+4, m ≧ 12) の場合

Br(u, v, w) (u, v, w = 0, ..., r-1) は以下の式によって与えられる.
Br(u, v, w) = Br*(u, v, w) xor Dr(u, v, w),

ここで
Br*(u, v, w) = V(Cr/2(u*, v*, w*)) xor [u/(r/2)] xor [v/(r/2)] xor [w/(r/2)],
Cr/2(u*, v*, w*) = (u* + v* - 2w*) mod (r/2),
V(x) = x mod 2 (x ≦ 1 のとき),   (x+1) mod 2 (x ≧ 2 のとき),
Dr(u, v, w) = 0 または 1 (後述).

ただし
u* = min{ u, r-1-u }, v* = min{ v, r-1-v }, w* = min{ w, r-1-w }.

Dr(u, v, w) は,Br*(u, v, w) の平面対角線を成立させるための補正を行う関数である.Dr(u, v, w) = 1 となるのは以下のいずれかの場合である.

r = 6 (m = 12) の場合の例を以下に示す.

C3(u*, v*, w*)
w* = 0
012
120
201
w* = 1
120
201
012
w* = 2
012
120
201
V(C3(u*, v*, w*))
w* = 0
011
110
101
w* = 1
110
101
011
w* = 2
101
011
110
B6*(u, v, w)
w = 0 (w* = 0)
011001
110100
101010
010101
001011
100110
w = 1 (w* = 1)
110100
101010
011001
100110
010101
001011
w = 2 (w* = 2)
101010
011001
110100
001011
100110
010101

w = 3 (w* = 2)
010101
100110
001011
110100
011001
101010
w = 4 (w* = 1)
001011
010101
100110
011001
101010
110100
w = 5 (w* = 0)
100110
001011
010101
101010
110100
011001
D6(u, v, w)
w = 0 (w* = 0)
010010
000101
000000
000000
010111
000000
w = 1 (w* = 1)
000000
001100
000011
001111
000000
000000
w = 2 (w* = 2)
000110
000000
100001
000000
000000
100111

w = 3 (w* = 2)
000110
000000
100001
000000
000000
100111
w = 4 (w* = 1)
000000
001100
000011
001111
000000
000000
w = 5 (w* = 0)
010010
000101
000000
000000
010111
000000
B6(u, v, w)
w = 0
001011
110001
101010
010101
011100
100110
w = 1
110100
100110
011010
101001
010101
001011
w = 2
101100
011001
010101
001011
100110
110010

w = 3
010011
100110
101010
110100
011001
001101
w = 4
001011
011001
100101
010110
101010
110100
w = 5
110100
001110
010101
101010
100011
011001

Back


Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

中村 光利(メールはこちら) メールを送信するためには JavaScript を有効にして下さい.
【特定電子メール法に基づく表示】広告メール、迷惑メールの送信はお断りします

本ページの最終更新日:2016年8月8日
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」   http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
Copyright © 2004-2016, Mitsutoshi Nakamura. All rights reserved.

track feed 立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣 powered by InfoMaker RSS
SEO
loading
立体方陣と高次元方陣