English   Japanese
Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

全斜四次元方陣の作成アルゴリズム

1. 偶数次

 偶数次全斜四次元方陣は,次数が8以上の場合に存在する.この場合,次数が4の倍数ならば対称な全斜四次元方陣も存在する.一方,次数が半偶数((4x+2)次)ならば,非対称な全斜四次元方陣のみが存在する.
なお,4次の全斜四次元方陣は存在しない.また,6次の全斜四次元方陣が存在するか否かは未解決である.なお,次数が16の倍数の場合は,より強い条件を満たす全汎斜四次元方陣が存在する(こちらを参照).
ここでは,次数が4の倍数である場合の構成法について紹介する.(半偶数次の全斜四次元方陣の構成法は複雑である.)

1.1 m = 8x, m ≧ 4 の場合(対称な全斜方陣)

求める対称全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は,完備な汎斜全斜四次元方陣 C[i, j, k, h] を用いて以下の式によって与えられる.
aijk = C[Tm(i), Tm(j), Tm(k), Tm(h)]

ここで Tm(x) = x (x < m/2), 3m/2-1-x (その他).


なお,次数が8の倍数の場合は,求める全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) を以下の式によって直接構成することもできる.
aijk = Tm(bijkh) m3 + Tm(cijkh) m2 + Tm(dijkh) m + Tm(eijkh) + 1,

ここで
bijkhTm(i) + (m/4) Tm(j) + (m/4) Tm(k) + (m/4) Tm(h)   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ (m/4) Tm(i) + Tm(j) + (m/4) Tm(k) + (m/4) Tm(h)   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ (m/4) Tm(i) + (m/4) Tm(j) + Tm(k) + (m/4) Tm(h)   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ (m/4) Tm(i) + (m/4) Tm(j) + (m/4) Tm(k) + Tm(h)   (mod. m),   0 ≦ eijkh < m,
Tm(x) の定義は上と同じ.

Back

2. 奇数次

 奇数次全斜四次元方陣は,次数が15以上の場合に存在する.奇数次の対称全斜四次元方陣も,同じ条件下で存在する.
3次・5次の全斜四次元方陣は存在しない.また,7次・9次・11次・13次の全斜四次元方陣が存在するか否かは未解決である.なお,次数が17以上の場合は,より強い条件を満たす全汎斜四次元方陣が存在する(こちらを参照).
以下,L13 = lcm{y| 3≦ y ≦13, y は奇数} = 32・5・7・11・13 とおく.(lcm は最小公倍数を表す.なお,gcd は最大公約数を表す.)

2.1 m = 2x+1, m ≧ 15, gcd(m, L13) = 1 の場合(対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜)

この場合,m は 3, 5, 7, 11, 13 のいずれでも割り切れない.
求める全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある.
aijkh = bijkh m3 + cijkh m2 + dijkh m + eijkh + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m.

この方陣は,XmlHypercube formatAale de Winkel 氏による)によって以下のように表現される.
   LP({2,4,1,7}+(m+13)/2,{2,-4,1,7}+(m+5)/2,{2,4,-1,7}+(m+11)/2,{2,4,7,-1}+(m+11)/2)

行列式
| 2 4 1 7|
| 2 -4 1 7|
| 2 4 -1 7|
| 2 4 7 -1|
の値は -256 = -28 であり,任意の奇数と互いに素であるので,この式によって与えられる方陣は常に正規方陣となる.

2.2 m = 2x+1, m ≧ 15, 1 < gcd(m, L13) < m の場合(対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜)

この場合,q = gcd(m, L13), p = m/q とおくと,p > 1, q > 1 である.
求める全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある.
aijkh = Sm,q(bijkh) m3 + Sm,q(cijkh) m2 + Sm,q(dijkh) m + Sm,q(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m.
Sm,q(x) = Qp,q([x/q], x mod q).

ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す.

Qp,q(x, y) (0 ≦ x < p, 0 ≦ y < q)は,以下の式によって与えられる.
Qp,q(x, y) = qx + y (0 < x < p-1, x が偶数),
qx + (q-1-y) (0 < x < p-1, x が奇数),
y/2 + (q-1)/2 (x = 0, y が偶数),
(y-1)/2 (x = 0, y が奇数),
y/2 + (p-1)q (x = p-1, y が偶数),
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 (x = p-1, y が奇数).

関数 Qp,q(x, y), Sm,q(x) の具体例については,全汎斜立体方陣のページを参照のこと.

2.3 m = 2x+1, m ≧ 15, gcd(m, L13) = m の場合(対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜)

この場合,m は L13 = 32・5・7・11・13 の約数である.
求める全斜四次元方陣 aijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる.なお,この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある.
aijkh = S*m(bijkh) m3 + S*m(cijkh) m2 + S*m(dijkh) m + S*m(eijkh) + 1,

ここで
bijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ bijkh < m,
cijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ cijkh < m,
dijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m,
eijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ dijkh < m.

S*m(x) は以下のように定義される.

S*m(x) = Rq,m/q(x mod q, x mod (m/q)) - 1,

ここで,q は m の最大の素因数である(q は 5, 7, 11, 13 のいずれかである).
Rq,m/q は (q,m/q)-対称長方陣である.詳細は長方陣のページを参照.

Back


Home   Site Map   Top   Prev.   Next   3-D ( 1   2   3   4   5 )   4-D ( 1   2   3   4   5   6 )

中村 光利(メールはこちら) メールを送信するためには JavaScript を有効にして下さい.
【特定電子メール法に基づく表示】広告メール、迷惑メールの送信はお断りします

本ページの最終更新日:2016年8月8日
「立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣」   http://magcube.la.coocan.jp/magcube/jp/
Copyright © 2004-2016, Mitsutoshi Nakamura. All rights reserved.

track feed 立体方陣と高次元方陣−三次元以上の魔方陣 powered by InfoMaker RSS
SEO
loading
立体方陣と高次元方陣